Interesting Inequality Problem from Indonesia RMM TST 2018

投稿日:2018/1/22最終更新日:2025/5/18

Soal Ketaksamaan ada Deret Harmoniknya

Salah satu soal aljabar sulit yang diberikan pada pelatihan Romanian Masters in Mathematics 2018 adalah ketaksamaan. Soalnya adalah sebagai berikut:

Problem Statement

Diberikan $a_1, a_2, \dots, a_n$ adalah bilangan-bilangan bulat positif. Buktikan bahwa

$$\sum_{k=1}^n \frac{\sqrt{a_k}}{1+a_1+\dots+a_k} \le \frac{1}{2}(H_n + H_{n^2}).$$

di mana $H_n = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}, \quad \forall n \in \mathbb{N}$

Solution

$$\begin{aligned} \left( \sum_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{a_k}}{1 + S_k} \right)^2 &\stackrel{\text{CS}}{\le} \left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\right)\left(\sum_{k=1}^n \frac{ka_k}{(1+S_k)^2}\right) = H_n \left(\sum_{k=1}^n \frac{ka_k}{(1+S_k)^2}\right) \\ &< H_n \left( \sum_{k=1}^n \frac{ka_k}{(1+S_k)(1+S_{k-1})} \right) = H_n \left( \sum_{k=1}^n \frac{k((1+S_k) - (1+S_{k-1}))}{(1+S_k)(1+S_{k-1})} \right) \\ &= H_n \left( \sum_{k=1}^n \left[ \frac{k}{1+S_{k-1}} - \frac{k}{1+S_k} \right] \right) \\ &= H_n \left( \left[ \frac{1}{1 + S_0} - \frac{1}{1 + S_1} \right] + \left[ \frac{2}{1 + S_1} - \frac{2}{1 + S_2} \right] + \dots + \left[ \frac{n}{1 + S_{n-1}} - \frac{n}{1 + S_n} \right] \right) \\ &= H_n \left( 1 - \frac{n}{1 + S_n} + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{1 + S_k} \right) < H_n \left( 1 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{1 + S_k} \right) \\ &\stackrel{[\diamondsuit]}{\le} H_n \left( 1 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{1 + (k)} \right) = H_n^2. \text{ } \square \end{aligned}$$

Komentar Dengan menggunakan cara di atas diperoleh bound yang (jauh) lebih kuat daripada bound pada ruas kanan soal (perhatiin bahwa bisa dibuktikan pake integral bahwa selisih dari $H_n$ dan $H_{n^2}$ bakal jadi gede as $n$ makin gede lol). Selain itu, syarat bahwa semua bilangan-bilangan $a_i$ adalah bilangan bulat jadi tidak perlu, yang penting nilai mereka tidak kurang dari $1$.

Remark Turns out ini adalah Star of Mathematics 2015

Komentar Saat pertama melihat soal ini, saya langsung teringat soal Korea Final Round 2005 P2, dimana soal tersebut juga merupakan soal ketaksamaan yang ada bentuk $a_1 + a_2 + \dots + a_i$-nya. Flavour-nya terasa sama, dan kebetulan soal tersebut juga menggunakan CS. Jadi sebenarnya ya saya hoki aja bisa mengerjakan soal ini pas lagi tes karena caranya mirip.